Под перестановкой часто понимают упорядочение всех элементов набора в определенную последовательность или порядок. Если набор уже упорядочен, то соответствующая перестановка его элементов называется процессом перестановки. Перестановки чаще всего возникают, когда имеют место различные упорядочения на определенных конечных множествах.
Перестановки представлены следующей формулой:
nPr = (n!) / (n-r)!
- Комбинация
- Ограниченные перестановки
- Распространенные типы ограниченных перестановок
- Формула ограниченных перестановок
- Примеры вопросов
- Вопрос 1. Узнайте, сколько 4-значных чисел без повторения можно составить, используя 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, если в номере всегда будет 4?
- Вопрос 2. Сколько пятизначных чисел можно образовать из 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Так, чтобы в числе всегда присутствовала 2?
- Вопрос 3. Сколько разных трехбуквенных слов можно составить из 5 гласных, если никогда не включать «а»?
- Вопрос 4. Сколько четырехзначных чисел без повторения можно составить, используя 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, если 4 никогда не будут включены?
Комбинация
Комбинация — это способ извлечения и выбора элементов из набора элементов таким образом, что порядок выбора в этом случае не имеет значения. Это эквивалентно подсчету количества комбинаций данного набора наблюдений. Это в основном эквивалентно комбинации n вещей, взятых k за раз, без каких-либо повторений. Чтобы представить комбинации, в которых допускается повторение, часто используются термины k-выбор или k-комбинация с повторением.
Комбинации представлены следующей формулой:
nCr = (n!)/r!(n-r)!
Ограниченные перестановки
Перестановка — это способ фильтрации и выбора набора объектов, при котором расположение объектов имеет значение. Однако расположение объектов может быть выполнено путем наложения определенных ограничений на порядок выбора. Например, порядок расположения статей, при котором статья всегда включается или исключается из набора данных объектов. Наложение ограничений подразумевает, что не все объекты из данного набора нужно заказывать. Существуют различные типы общих ограничений, которые могут быть наложены на перестановку:
- Включение набора объектов
- Исключение набора объектов
- Определенные объекты, которые всегда встречаются вместе
- Некоторые объекты, которые остаются отдельно друг от друга
Распространенные типы ограниченных перестановок
Вот некоторые из примеров ограниченных перестановок:
- Формирование чисел с цифрами с некоторыми цифрами в фиксированных позициях.
- Построение слова несколькими буквами с фиксированной позицией.
- Гласные или согласные в наборе алфавитов встречаются вместе.
- Набор объектов, всегда встречающихся вместе
- Набор объектов, которые никогда не встречаются вместе
- Ограничения для круговых перестановок
- Выбор платья из набора платьев
- Порядок приема пищи
- Комбинации цветов, которые нужно сделать
Формула ограниченных перестановок
Количество перестановок n вещей, принимающих r за раз, что соответствует случаю, когда всегда происходит определенная вещь
r × n-1Pr-1
Количество перестановок ’n’ вещей, принимающих ’r’ за раз, в соответствии со случаем, когда конкретная вещь никогда не происходила
n-1Pr
Примеры вопросов
Вопрос 1. Узнайте, сколько 4-значных чисел без повторения можно составить, используя 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, если в номере всегда будет 4?
Решение:
Здесь, чтобы найти номер из 4 цифр без каких-либо повторений, можно использовать 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, если 4 всегда будет в номере.
Количество перестановок n вещей, взятых за раз. В котором всегда происходит что-то особенное
r × n-1Pr-1
Здесь,
г = 4
п = 7
Далее подставляя значения в приведенную выше формулу
⇒ r × n-1Pr-1
⇒ 4 × 7-1P4-1
⇒ 4 × 6P3
⇒ 4 × 6!/3!
⇒ 4 × (6 × 5 × 4 × 3!)/3!
⇒ 480
Следовательно,
Можно сделать 480 номеров.
Вопрос 2. Сколько пятизначных чисел можно образовать из 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Так, чтобы в числе всегда присутствовала 2?
Решение:
Здесь, чтобы найти 5-значные числа, можно образовать 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Так что 2 всегда присутствует в числе,
Количество перестановок n вещей, взятых за раз. В котором всегда происходит что-то особенное
r × n-1Pr-1
Здесь,
г = 5
п = 10
Далее подставляя значения в приведенную выше формулу
⇒ r × n-1Pr-1
⇒ 5 × 10-1P5-1
⇒ 5 × 9P4
⇒ 5 × 9!/4!
⇒ 5 × (9 × 8 × 7 × 6 × 5 × 4!)/4!
⇒ 15120
Следовательно,
Можно составить 15120 номеров.
Вопрос 3. Сколько разных трехбуквенных слов можно составить из 5 гласных, если никогда не включать «а»?
Решение:
Здесь, чтобы найти разные трехбуквенные слова, можно составить 5 гласных, если ’а’ никогда не включается,
Количество перестановок n вещей, взятых за раз. В котором никогда не происходило ничего особенного
n-1Pr
Здесь,
г = 3
п = 5
Далее подставляя значения в приведенную выше формулу
⇒ n-1Pr
⇒ 5-1P3
⇒ 4P3
⇒ 4!/(4 – 3)!
⇒ 4 × 3 × 2
⇒ 24
Следовательно,
Можно составить 24 слова.
Вопрос 4. Сколько четырехзначных чисел без повторения можно составить, используя 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, если 4 никогда не будут включены?
Решение:
Здесь найти четырехзначные числа без каких-либо повторений можно с помощью 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, если 4 никогда не будут включены,
Количество перестановок n вещей, взятых за раз. В котором никогда не происходило ничего особенного
n-1Pr
Здесь,
г = 4
п = 7
Далее подставляя значения в приведенную выше формулу
⇒ n-1Pr
⇒ 7-1P4
⇒ 6P4
⇒ 6!/(6 – 4)!
⇒ 6 × 5 × 4 × 3 × 2!/2!
⇒ 360
Следовательно,
Можно сделать 360 номеров.
